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Problem Lang User Status Time Memory
Polynomial Taylor Shift cpp-acl ecottea AC 238 ms 28.44 MiB

ケース詳細
Name Status Time Memory
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#ifndef HIDDEN_IN_VISUAL_STUDIO // 折りたたみ用 // 警告の抑制 #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // 使えるライブラリの読み込み #include <bits/stdc++.h> using namespace std; // 型名の短縮 using ll = long long; // -2^63 ~ 2^63 = 9 * 10^18(int は -2^31 ~ 2^31 = 2 * 10^9) using pii = pair<int, int>; using pll = pair<ll, ll>; using pil = pair<int, ll>; using pli = pair<ll, int>; using vi = vector<int>; using vvi = vector<vi>; using vvvi = vector<vvi>; using vl = vector<ll>; using vvl = vector<vl>; using vvvl = vector<vvl>; using vb = vector<bool>; using vvb = vector<vb>; using vvvb = vector<vvb>; using vc = vector<char>; using vvc = vector<vc>; using vvvc = vector<vvc>; using vd = vector<double>; using vvd = vector<vd>; using vvvd = vector<vvd>; template <class T> using priority_queue_rev = priority_queue<T, vector<T>, greater<T>>; using Graph = vvi; // 定数の定義 const double PI = 3.14159265359; const double DEG = PI / 180.; // θ [deg] = θ * DEG [rad] const vi dx4 = { 1, 0, -1, 0 }; // 4 近傍(下,右,上,左) const vi dy4 = { 0, 1, 0, -1 }; const vi dx8 = { 1, 1, 0, -1, -1, -1, 0, 1 }; // 8 近傍 const vi dy8 = { 0, 1, 1, 1, 0, -1, -1, -1 }; const ll INFL = (ll)2e18; const int INF = (int)1e9; const double EPS = 1e-10; // 許容誤差に応じて調整 // 汎用マクロの定義 #define all(a) (a).begin(), (a).end() #define sz(x) ((int)(x).size()) #define distance (int)distance #define Yes(b) {cout << ((b) ? "Yes" : "No") << endl;} #define rep(i, n) for(int i = 0, i##_len = int(n); i < i##_len; ++i) // 0 から n-1 まで昇順 #define repi(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i <= i##_end; ++i) // s から t まで昇順 #define repir(i, s, t) for(int i = int(s), i##_end = int(t); i >= i##_end; --i) // s から t まで降順 #define repe(v, a) for(const auto& v : (a)) // a の全要素(変更不可能) #define repea(v, a) for(auto& v : (a)) // a の全要素(変更可能) #define repb(set, d) for(int set = 0; set < (1 << int(d)); ++set) // d ビット全探索(昇順) #define repp(a) sort(all(a)); for(bool a##_perm = true; a##_perm; a##_perm = next_permutation(all(a))) // a の順列全て(昇順) #define repit(it, a) for(auto it = (a).begin(); it != (a).end(); ++it) // イテレータを回す(昇順) #define repitr(it, a) for(auto it = (a).rbegin(); it != (a).rend(); ++it) // イテレータを回す(降順) // 汎用関数の定義 template <class T> inline ll pow(T n, int k) { ll v = 1; rep(i, k) v *= n; return v; } template <class T> inline bool chmax(T& M, const T& x) { if (M < x) { M = x; return true; } return false; } // 最大値を更新(更新されたら true を返す) template <class T> inline bool chmin(T& m, const T& x) { if (m > x) { m = x; return true; } return false; } // 最小値を更新(更新されたら true を返す) // 入出力用の >>, << のオーバーロード template <class T, class U> inline istream& operator>> (istream& is, pair<T, U>& p) { is >> p.first >> p.second; return is; } template <class T, class U> inline ostream& operator<< (ostream& os, const pair<T, U>& p) { os << "(" << p.first << "," << p.second << ")"; return os; } template <class T, class U, class V> inline istream& operator>> (istream& is, tuple<T, U, V>& t) { is >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t); return is; } template <class T, class U, class V> inline ostream& operator<< (ostream& os, const tuple<T, U, V>& t) { os << "(" << get<0>(t) << "," << get<1>(t) << "," << get<2>(t) << ")"; return os; } template <class T, class U, class V, class W> inline istream& operator>> (istream& is, tuple<T, U, V, W>& t) { is >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t); return is; } template <class T, class U, class V, class W> inline ostream& operator<< (ostream& os, const tuple<T, U, V, W>& t) { os << "(" << get<0>(t) << "," << get<1>(t) << "," << get<2>(t) << "," << get<3>(t) << ")"; return os; } template <class T> inline istream& operator>> (istream& is, vector<T>& v) { repea(x, v) is >> x; return is; } template <class T> inline ostream& operator<< (ostream& os, const vector<T>& v) { repe(x, v) os << x << " "; return os; } template <class T> inline ostream& operator<< (ostream& os, const set<T>& s) { repe(x, s) os << x << " "; return os; } template <class T> inline ostream& operator<< (ostream& os, const unordered_set<T>& s) { repe(x, s) os << x << " "; return os; } template <class T, class U> inline ostream& operator<< (ostream& os, const map<T, U>& m) { repe(p, m) os << p << " "; return os; } template <class T, class U> inline ostream& operator<< (ostream& os, const unordered_map<T, U>& m) { repe(p, m) os << p << " "; return os; } template <class T> inline ostream& operator<< (ostream& os, stack<T> s) { while (!s.empty()) { os << s.top() << " "; s.pop(); } return os; } template <class T> inline ostream& operator<< (ostream& os, queue<T> q) { while (!q.empty()) { os << q.front() << " "; q.pop(); } return os; } template <class T> inline ostream& operator<< (ostream& os, deque<T> q) { while (!q.empty()) { os << q.front() << " "; q.pop_front(); } return os; } template <class T> inline ostream& operator<< (ostream& os, priority_queue<T> q) { while (!q.empty()) { os << q.top() << " "; q.pop(); } return os; } // 手元環境(Visual Studio) #ifdef _MSC_VER #define popcount (int)__popcnt // 全ビット中の 1 の個数 #define popcountll (int)__popcnt64 inline int lsb(unsigned int n) { unsigned long i; _BitScanForward(&i, n); return i; } // 最下位ビットの位置(0-indexed) inline int lsbll(unsigned long long n) { unsigned long i; _BitScanForward64(&i, n); return i; } inline int msb(unsigned int n) { unsigned long i; _BitScanReverse(&i, n); return i; } // 最上位ビットの位置(0-indexed) inline int msbll(unsigned long long n) { unsigned long i; _BitScanReverse64(&i, n); return i; } template <class T> T gcd(T a, T b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; } #define dump(x) cout << "\033[1;36m" << (x) << "\033[0m" << endl; #define dumps(x) cout << "\033[1;36m" << (x) << "\033[0m "; #define dumpel(a) { int i = 0; cout << "\033[1;36m"; repe(x, a) {cout << i++ << ": " << x << endl;} cout << "\033[0m"; } #define input_from_file(f) ifstream isTMP(f); cin.rdbuf(isTMP.rdbuf()); #define output_to_file(f) ofstream osTMP(f); cout.rdbuf(osTMP.rdbuf()); // 提出用(GCC) #else #define popcount (int)__builtin_popcount #define popcountll (int)__builtin_popcountll #define lsb __builtin_ctz #define lsbll __builtin_ctzll #define msb(n) (31 - __builtin_clz(n)) #define msbll(n) (63 - __builtin_clzll(n)) #define gcd __gcd #define dump(x) #define dumps(x) #define dumpel(v) #define input_from_file(f) #define output_to_file(f) #endif #endif // 折りたたみ用 //-----------------AtCoder 専用----------------- #include <atcoder/all> using namespace atcoder; //using mint = modint1000000007; using mint = modint998244353; //using mint = modint; // mint::set_mod(m); template <class S, S(*op)(S, S), S(*e)()>ostream& operator<<(ostream& os, segtree<S, op, e> seg) { int n = seg.max_right(0, [](S x) {return true; }); rep(i, n) os << seg.get(i) << " "; return os; } template <class S, S(*op)(S, S), S(*e)(), class F, S(*mp)(F, S), F(*cp)(F, F), F(*id)()>ostream& operator<<(ostream& os, lazy_segtree<S, op, e, F, mp, cp, id> seg) { int n = seg.max_right(0, [](S x) {return true; }); rep(i, n) os << seg.get(i) << " "; return os; } istream& operator>> (istream& is, mint& x) { ll x_; is >> x_; x = x_; return is; } ostream& operator<< (ostream& os, const mint& x) { os << x.val(); return os; } using vm = vector<mint>; using vvm = vector<vm>; using vvvm = vector<vvm>; //---------------------------------------------- //【形式的冪級数(mod 998244353)】 /* * FPS() : O(1) * 零多項式 f = 0 で初期化する. * * FPS(c0) : O(1) * 定数多項式 f = c0 で初期化する. * * FPS(c) : O(|c|) * f(x) = c[0] + c[1] x + ... + c[n - 1] x^(n-1) で初期化する. * * f.deg() : O(1) * 多項式 f の次数を返す. * * monomial(d) : O(d) * 単項式 x^d を返す. * * f.assign(v) : O(n) * 多項式 f の不定元 x に v を代入した値を返す. * * c + f, f + c : O(1) f + g : O(n) * f - c : O(1) c - f, f - g, -f : O(n) * c * f, f * c : O(n) f * g : O(n log n) * f / c : O(n) * 和,差,積,定数除算などの結果を返す. * * f.pow(k, d) : O(n log n) * f(x)^k mod x^d を返す. * * f.inv(d) : O(n log n) * 1 / f mod x^d を返す. * 制約 : f(0) ≠ 0 * * f / g : O(n log n) * f を g で割った商を返す. * * f % g : O(n log n) * f を g で割った余りを返す. * * quotient_remainder(f, g) : O(n log n) * f を g で割った商と余りの組を返す. * * f.resize() : O(n) * 不要な高次の項を削る. * * f.resize(d) : O(1) * mod x^d をとる. * * f >> d, f << d : O(n) * 係数列を d だけ右[左]シフトした多項式を返す. * (右シフトは x^d の乗算,左シフトは x^d で割った商と等価) * * power_mod(f, d, g) : O(m log m log d) (m = deg g) * f(x)^d % g(x) を返す. * * derivative(f) : O(n) * f'(x) を返す. * * integral(f) : O(n) * ∫ f(x) dx を返す.(定数項は 0 とする) * * log(f, d) : O(n log n) * log f(x) mod x^d を返す. * 制約 : f(0) = 1 * * exp(f, d) : O(n log n) * exp f(x) mod x^d を返す. * 制約 : f(0) = 0; */ struct FPS { using mint = modint998244353; using vm = vector<mint>; int n; // 係数の個数(次数 + 1) vm c; // 係数列 // コンストラクタ(0,定数,係数列で初期化) FPS() : n(0) {} FPS(const mint& c0) : n(1), c({ c0 }) {} FPS(const vm& c_) : n(sz(c_)), c(c_) {} FPS(const int& c0) : n(1), c({ mint(c0) }) {} FPS(const vi& c_) : n(sz(c_)), c(n) { rep(i, n) c[i] = c_[i]; } // 代入 FPS(const FPS& f) = default; FPS& operator=(const FPS& f) = default; FPS& operator=(const mint& c0) { n = 1; c = { c0 }; return *this; } // アクセス mint const& operator[](int i) const { return c[i]; } mint& operator[](int i) { return c[i]; } // 次数 int deg() const { return n - 1; } // 加算 FPS& operator+=(const FPS& g) { if (n >= g.n) rep(i, g.n) c[i] += g.c[i]; else { rep(i, n) c[i] += g.c[i]; repi(i, n, g.n - 1) c.push_back(g.c[i]); n = g.n; } return *this; } FPS operator+(const FPS& g) const { FPS h = *this; h += g; return h; } // 定数加算 FPS& operator+=(const mint& sc) { if (n == 0) { n = 1; c = { sc }; } else { c[0] += sc; } return *this; } FPS operator+(const mint& sc) const { FPS h = *this; h += sc; return h; } friend FPS operator+(const mint& sc, const FPS& f) { return f + sc; } FPS& operator+=(const int& sc) { *this += mint(sc); return *this; } FPS operator+(const int& sc) const { FPS h = *this; h += sc; return h; } friend FPS operator+(const int& sc, const FPS& f) { return f + sc; } // 減算 FPS& operator-=(const FPS& g) { if (n >= g.n) rep(i, g.n) c[i] -= g.c[i]; else { rep(i, n) c[i] -= g.c[i]; repi(i, n, g.n - 1) c.push_back(-g.c[i]); n = g.n; } return *this; } FPS operator-(const FPS& g) const { FPS h = *this; h -= g; return h; } // 定数減算 FPS& operator-=(const mint& sc) { *this += -sc; return *this; } FPS operator-(const mint& sc) const { FPS h = *this; h -= sc; return h; } friend FPS operator-(const mint& sc, const FPS& f) { return -(f - sc); } FPS& operator-=(const int& sc) { *this += -sc; return *this; } FPS operator-(const int& sc) const { FPS h = *this; h -= sc; return h; } friend FPS operator-(const int& sc, const FPS& f) { return -(f - sc); } // 加法逆元 FPS operator-() { FPS h = *this; h *= -1; return h; } // 定数倍 FPS& operator*=(const mint& sc) { rep(i, n) c[i] *= sc; return *this; } FPS operator*(const mint& sc) const { FPS h = *this; h *= sc; return h; } friend FPS operator*(const mint& sc, const FPS& f) { return f * sc; } FPS& operator*=(const int& sc) { *this *= mint(sc); return *this; } FPS operator*(const int& sc) const { FPS h = *this; h *= sc; return h; } friend FPS operator*(const int& sc, const FPS& f) { return f * sc; } // 右からの定数除算 FPS& operator/=(const mint& sc) { *this *= sc.inv(); return *this; } FPS operator/(const mint& sc) const { FPS h = *this; h /= sc; return h; } FPS& operator/=(const int& sc) { *this /= mint(sc); return *this; } FPS operator/(const int& sc) const { FPS h = *this; h /= sc; return h; } // 積 FPS& operator*=(const FPS& g) { c = convolution(c, g.c); n = sz(c); return *this; } FPS operator*(const FPS& g) const { FPS h = *this; h *= g; return h; } // 乗法逆元 FPS inv(int d) const { // 参考:https://nyaannyaan.github.io/library/fps/formal-power-series.hpp //【方法】 // 1 / f mod x^d を求めることは, // f g = 1 (mod x^d) // なる g を求めることである. // この d の部分を 1, 2, 4, ..., 2^i と倍々にして求めていく. // // d = 1 のときについては // g = 1 / f[0] (mod x^1) // である. // // 次に, // g = h (mod x^k) // が求まっているとして // g mod x^(2 k) // を求める.最初の式を変形していくことで // g - h = 0 (mod x^k) // ⇒ (g - h)^2 = 0 (mod x^(2 k)) // ⇔ g^2 - 2 g h + h^2 = 0 (mod x^(2 k)) // ⇒ f g^2 - 2 f g h + f h^2 = 0 (mod x^(2 k)) // ⇔ g - 2 h + f h^2 = 0 (mod x^(2 k))  (f g = 1 (mod x^d) より) // ⇔ g = (2 - f h) h (mod x^(2 k)) // を得る. // // この手順を d <= 2^i となる i まで繰り返し,d 次以上の項を削除すればよい. FPS g(c[0].inv()); for (int k = 1; k < d; k *= 2) { g = (2 - *this * g) * g; g.resize(2 * k); } return g.resize(d); } // 商 FPS operator/(const FPS& g) const { // 参考 : https://nyaannyaan.github.io/library/fps/formal-power-series.hpp //【方法】 // f(x) = g(x) q(x) + r(x) となる q(x) を求める. // f の次数は n - 1, g の次数は m - 1 とする.(n >= m) // 従って q の次数は n - m,r の次数は m - 2 となる. // // f^R で f の係数列を逆順にした多項式を表す.すなわち // f^R(x) := f(1/x) x^(n-1) // である.他の多項式も同様とする. // // 最初の式で x → 1/x と置き換えると, // f(1/x) = g(1/x) q(1/x) + r(1/x) // ⇔ f(1/x) x^(n-1) = g(1/x) q(1/x) x^(n-1) + r(1/x) x^(n-1) // ⇔ f(1/x) x^(n-1) = g(1/x) x^(m-1) q(1/x) x^(n-m) + r(1/x) x^(m-2) x^(n-m+1) // ⇔ f^R(x) = g^R(x) q^R(x) + r^R(x) x^(n-m+1) // ⇒ f^R(x) = g^R(x) q^R(x) (mod x^(n-m+1)) // ⇒ q^R(x) = f^R(x) / g^R(x) (mod x^(n-m+1)) // を得る. // // これで q を mod x^(n-m+1) で正しく求めることができることになるが, // q の次数は n - m であったから,q 自身を正しく求めることができた. if (n < g.n) return FPS(); return ((this->rev() * g.rev().inv(n - g.n + 1)).resize(n - g.n + 1)).rev(); } FPS& operator/=(const FPS& g) { return *this = *this / g; } // 余り FPS operator%(const FPS& g) const { return (*this - (*this / g) * g).resize(g.n - 1); } FPS& operator%=(const FPS& g) { return *this = *this % g; } // 商と余り friend pair<FPS, FPS> quotient_remainder(const FPS& f, const FPS& g) { pair<FPS, FPS> res; res.first = f / g; res.second = (f - res.first * g).resize(g.n - 1); return res; } // 係数反転 FPS rev() const { FPS h = *this; reverse(all(h.c)); return h; } // 不要な高次項の除去 FPS& resize() { // 最高次の係数が非 0 になるまで削る. while (n > 0 && c[n - 1] == 0) { c.pop_back(); n--; } return *this; } // 高次項の除去 FPS& resize(int d) { // x^d 以上の項を除去する. n = d; c.resize(d); return *this; } // 不定元への代入 mint assign(const mint& x) const { mint val = 0; repir(i, n - 1, 0) val = val * x + c[i]; return val; } // 単項式 friend FPS monomial(int d) { vm coef(d + 1); coef[d] = 1; FPS mono(coef); return mono; } // 係数のシフト FPS operator>>(int d) const { FPS f = *this; f.n += d; vm zeros(d); f.c.insert(f.c.begin(), zeros.begin(), zeros.end()); return f; } FPS operator<<(int d) const { FPS f = *this; f.n -= d; if (f.n <= 0) { f.c.clear(); f.n = 0; } else { f.c.erase(f.c.begin(), f.c.begin() + d); } return f; } // 累乗の剰余 friend FPS power_mod(const FPS& f, ll d, const FPS& g) { FPS res(1), pow2(f); while (d > 0) { if (d & 1) res = (res * pow2) % g; pow2 = (pow2 * pow2) % g; d /= 2; } return res; } // 微分 friend FPS derivative(const FPS& f) { FPS res; repi(i, 1, f.n - 1) res.c.push_back(f[i] * i); res.n = sz(res.c); return res; } // 不定積分 friend FPS integral(const FPS& f) { FPS res(0); repi(i, 0, f.n - 1) res.c.push_back(f[i] / (i + 1)); res.n = sz(res.c); return res; } // 対数関数 friend FPS log(const FPS& f, int d) { // 参考 : https://qiita.com/hotman78/items/f0e6d2265badd84d429a return integral((derivative(f) * f.inv(d - 1)).resize(d - 1)); } // 指数関数 friend FPS exp(const FPS& f, int d) { // 参考 : https://qiita.com/hotman78/items/f0e6d2265badd84d429a //【方法】 // g(x) = exp(f(x)) とおき,方程式 // log g(x) = f(x) // に対してニュートン法を用いる. // // f(0) = 0 なので,mod x^1 では // log(1) ≡ f(x) mod x^1 // が成り立つ. // // mod x^k で // log h(x) ≡ f(x) mod x^k // が成り立っていると仮定すると,ニュートン法より // g = h - (log h - f) / (log h)' // ⇔ g = h (f + 1 - log h) // と置くと // log g(x) ≡ f(x) mod x^(2 k) // が成り立つ. // // これを繰り返せば所望の g が求まる. // ニュートン法で log g = f なる g を見つける. FPS g(1); for (int k = 1; k < d; k *= 2) { g = g * (f + 1 - log(g, 2 * k)); g.resize(2 * k); } return g; } // 累乗 FPS pow(ll k, int d) const { // 参考 : https://qiita.com/hotman78/items/f0e6d2265badd84d429a // 最低次の項を見つける. int i0 = 0; while (i0 < n && c[i0] == 0) i0++; // f = 0 なら f^k = 0 である. if (i0 == n) { FPS g; g.resize(d); return g; } // 最低次の項の係数を記録する. mint c0 = c[i0]; // 定数項が 1 になるようシフトかつ定数除算した多項式を得る. FPS fs = (*this << i0) / c0; ll ds = d - k * i0; // 最終的に k * i0 次以上の項しか残らないことに注意し,0 になるケースを処理する. if (ds <= 0) { FPS g; g.resize(d); return g; } // f^k = exp(k log f(x)) を用いて f^k を計算する. FPS gs = exp(mint(k) * log(fs, (int)ds), (int)ds); // シフトと定数除算した分を元に戻す. FPS g = (gs * c0.pow(k)) >> ((int)k * i0); return g; } // デバッグ出力 friend ostream& operator<<(ostream& os, const FPS& f) { if (f.n == 0) os << 0; else { rep(i, f.n) { os << f.c[i] << "x^" << i; if (i < f.n - 1) os << " + "; } } return os; } }; //【平行移動】O(n log n) /* * f(x + c) を返す. */ FPS taylor_shift(const FPS& f, mint c) { // 参考 : https://nyaannyaan.github.io/library/fps/taylor-shift.hpp.html //【方法】 // f(x) = Σn=[0..N] f[n] x^n // と表されるとすると, // f(x + c) // = Σn=[0..N] f[n] (x + c)^n // = Σn=[0..N] f[n] Σr=[0..n] nCr c^(n-r) x^r (二項定理) // = Σn=[0..N] Σr=[0..n] f[n] n! / ((n-r)! r!) c^(n-r) x^r // = Σr=[0..N] Σn=[r..N] f[n] n! / ((n-r)! r!) c^(n-r) x^r (和の順序交換) // = Σr=[0..N] x^r / r! Σn=[r..N] (c^(n-r) / (n-r)!) n! f[n] // = Σr=[0..N] x^r / r! Σm=[0..N-r] (c^(N-m-r) / (N-m-r)!) (N-m)! f[N-m] (m = N - n) // = Σj=[0..N] x^(N-j) / (N-j)! Σm=[0..j] (c^(j-m) / (j-m)!) (N-m)! f[N-m] (j = N - r) // と書き直せる. // // よって // g(x) = Σn=[0..N] (c^n / n!) x^n // h(x) = Σn=[0..N] (N-n)! f[N-n] x^n // とおくと, // f(x + c) // = Σj=[0..N] x^(N-j) / (N-j)! (g*h)[j] // = Σj=[0..N] x^j / j! (g*h)[N-j] // と表される. int n = f.deg() + 1; // 階乗,階乗の逆数,逆数の値を保持するテーブル static vm fac, fac_inv, inv; static bool fc = true; // 前計算 if (fc) { fac = vm(n + 1LL); fac[0] = 1; repi(i, 1, n) fac[i] = fac[i - 1LL] * i; fac_inv = vm(n + 1LL); fac_inv[n] = fac[n].inv(); repir(i, n - 1, 1) fac_inv[i] = fac_inv[i + 1LL] * (i + 1); fac_inv[0] = 1; inv = vm(n + 1LL); repi(i, 1, n) inv[i] = fac[i - 1LL] * fac_inv[i]; fc = false; } dump(fac); dump(fac_inv); dump(inv); FPS g(1); g.resize(n); repi(i, 1, n - 1) g[i] = g[i - 1] * c * inv[i]; dump(g); FPS h(f); rep(i, n) h[i] *= fac[i]; h = h.rev(); dump(h); FPS fs = (g * h).resize(n); fs = fs.rev(); rep(i, n) fs[i] *= fac_inv[i]; return fs; } int main() { cout << fixed << setprecision(12); // input_from_file("input.txt"); // output_to_file("output.txt"); int n; mint c; cin >> n >> c; vi a(n); cin >> a; FPS A(a); auto B = taylor_shift(A, c); rep(i, n) { cout << B[i]; if (i < n - 1) cout << " "; else cout << endl; } }